WP8: Oplossingen van de Einstein-vergelijkingen voor gravitatie via de Hilbert-stroming
- Post by: Carlo Nijp
- 2:20PM apr 04, 2018
- Comments off
Tagline: Dit project bouwt een nieuwe brug tussen de state-of-the-art wiskunde en Einsteins theorie van de zwaartekracht, die wordt beschreven door 10 gekoppelde niet-lineaire tweede orde partiële differentiaalvergelijkingen.
Voorstel:
Dit project bouwt een nieuwe brug tussen de state-of-the-art wiskunde en Einsteins theorie van de zwaartekracht, die wordt beschreven door 10 gekoppelde niet-lineaire tweede orde partiële differentiaalvergelijkingen. De afleiding van deze vergelijkingen uit de zgn. Einstein-Hilbert actiefunctionaal opent de deur voor een nieuwe en onverwachte topologische aanpak op basis van Morse-Floer-theorie. De afgelopen jaren zijn technieken ontwikkeld om de oplossingen van de gradiënt-stroming van analoge functionalen te bestuderen. Dit maakt dan een topologisch-combinatorische aanpak mogelijk, waarbij de verkregen invarianten in verband worden gebracht met meetkundige eigenschappen van de onderliggende ruimte (-tijd). Zo’n dynamisch gezichtspunt heeft in het verleden tot grote doorbraken geleid, zoals Perelmans bewijs van het Poincaré-vermoeden via de geometrische Ricci-stroming. In dit project ontwikkelen we zo'n dynamische aanpak voor de oplossingen van de Einstein-vergelijkingen, gezien als de kritieke punten van de Einstein-Hilbert-actie, door de gradiënt-stroomvergelijkingen van deze actie te bekijken: de Hilbert-stroming. Deze is nog uitdagender dan de Ricci-stroming: waar de laatste parabolisch is en dus vooruit in de tijd geïntegreerd kan worden, is het beginwaardeprobleem voor de Hilbert-stroming “slecht gesteld”. In plaats daarvan moet men daarom moduli-ruimtes bestuderen van speciale oplossingen die zowel voor- als achteruit in de tijd bestaan. Als de juiste eigenschappen van de (molduli-)ruimte van begrensde oplossingen van de Hilbert-stroming kunnen worden vastgesteld, kunnen invarianten als een Floer-homologie voor de Einstein-vergelijkingen worden geconstrueerd. Deze strategie voor het bestuderen van de oplossingen van de Einstein-vergelijkingen via stromingslijnen van de Hilbert-actie vormt een gloednieuw perspectief op deze vergelijkingen.